课题：数学的发展历史

算筹是中国古代的计算工具，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。

《算数书》成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。

《周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”——这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。

《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。

它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。

全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。

在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。

注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。

该书的一些知识还传播至印度和 *** ，甚至经过这些地区远至欧洲。

九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。

中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。

赵爽学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。

在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。

用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。

三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。

其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”。

他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。

在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。

另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论著。

南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作问世。

祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。

他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。

根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。

②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。

在当时的算学馆《算经十书》成为专用教材对学生讲授。

《算经十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等10部数学著作。

所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。

公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。

从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。

中国古代数学以宋、元数学为最高境界。

在世界范围内宋、元数学也几乎是与 *** 数学一道居于领先集团的。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。

遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。

1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。

16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。

另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。

李冶于1248年发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。

尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。

公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。

公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。

郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。

公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。

朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。

14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。

明代珠算开始普及于中国。

1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。

但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。

由于演算天文历法的需要，自16世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。

数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了《几何原本》的前6卷（1607年完成）。

徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了《测量异同》和《勾股义》两篇著作。

邓玉函编译的《大测》〔2卷〕、《割圆八线表》〔6卷〕和罗雅谷的《测量全义》〔10卷〕是介绍西方三角学的著作。

此外在数学方面鲜有较大成就取得，中国古代数学自此便衰落了。

数学知识的原始积累

数学知识伴随着人类文明的产生而起源，并率先在几个文明古国开始了漫长的原始积累过程，人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料，最著名的古埃及象形文字纸草书和巴比伦楔形文字泥板书，较为集中地反映了古埃及数学和巴比的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表。

古埃及纸草书，是用尼罗河流域沼泽地水生植物的茎皮压制、粘连成纸草卷，用天然涂料液书写而成的。

有两份纸草书直接书写着数学内容。

一份叫做“莫斯科纸草”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。

这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草”，现藏莫斯科美术博物馆。

另一份叫做“莱因特纸草”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有：“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。

这份纸草书于1858年被格兰人莱因特购得，后为博物馆收藏。

这两份草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法、整数四则运算、单位分数的独特用法、试位法、求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活初中中的应用问题。

古巴比伦泥板书，是用截面呈三角形的利器作笔，在将干未干的胶泥板上刻写而成的，由于字体为楔形笔划，故称之为楔形文字泥板，从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。

它们分别属于公元前2100年苏美尔文化末期，公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西得时代。

其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据信这些数学表是用来运算和解题的。

这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆，并且被一一编号，成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。

巴比伦数学从整体上讲比古埃及数学高明，古巴比伦人采用60进位制记数法，并计算出倒数表、平方表、立方表、平方根表和立方根表，其中2的平方根近似为1.414213...。

巴比伦的代数有相当水平，他们用语言文字叙述方程问题及其解法，常用特殊的“长”、“宽”、“面积”等字眼表示未知量，除求解二次、三次方程的问题之外，也有一些数论性质的问题。

巴比伦的几何似乎没有古埃及的几何那么重要，只是收罗了一些计算简单图形的面积、体积的法则，也许他们只是在解决实际问题时才搞点几何。

此外，巴比伦数学中有很明显的商业、农业和天文的应用背景。

我们可以说，在人类早期数学知识积累过程中，由于计数物件的需要，产生了自然数，随着记数法的产生和发展，逐渐形成了运算，导致算术的产生；由于计量实物的需要，产生了简单的几何，随着农业、建筑业、手工业及天文观测的发展，逐渐积累了有关这些的基本性质和相互关系的经验知识，于是几何学萌芽了；由于商业计算、工程计算、天文的需要，在算术计算技巧的基础上，逐渐积累起代数学基本知识。

但是，在这个阶段上，直到公元前6世纪，无论如何也找不到我们今天所谓的“理性的数学”，而只是一种初级的“经验的数学”。

表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间［法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当］，并以空位表示零。

算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。

在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理［西方称毕氏定理］的特例。

战国时期，齐国人著的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。

著名的有《墨经》中关於某些几何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等。

墨家还给出有穷和无穷的定义。

《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如「至大无外谓之大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等。

这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。

此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。

汉唐初创时期

这一时期包括从秦汉到隋唐1000多年间的数学发展，所经历的朝代依次为秦、汉、魏、晋、南北朝、隋、唐。

秦汉是中国古代数学体系的形成时期。

为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。

西汉末年［公元前一世纪］编纂的天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术的先驱。

此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。

《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书於东汉初年［公元前一世纪］。

全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属於方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。

主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关於勾股测量的计算等。

在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关於线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。

就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。

它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和 *** ，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。

其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释。

刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》，应用重差术解决有关测量的问题。

刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。

南北朝时期的社会长期处於战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。

《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期的作品。

《孙子算经》给出「物不知数」问题，导致求解一次同余组问题；《张丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方程组问题。

祖冲之、祖日桓父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。

他们同时在天文学上也有突出的贡献。

其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113；(2)得到祖 日桓定理［幂势既同，则积不容异］并得到球体积公式；(3)发展了二次与三次方程的解法。

唐朝在数学教育方面有长足的发展。

656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》［包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》］，作为算学馆学生用的课本。

对保存古代数学经典起了重要的作用。

宋元全盛时期

唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。

从公元十一世纪到十四世纪［宋、元两代］，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。

这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》［11世纪中叶］，刘益的《议古根源》［12世纪中叶］，秦九韶的《数书九章》［1247］，李冶的《测圆海镜》［1248］和《益古演段》［1259］，杨辉的《详解九章算法》［1261］、《日用算法》［1262］和《杨辉算法》［1274-1275］，朱世杰的《算学启蒙》［1299］和《四元玉鉴》［1303］等等。

高次方程数值解法； 天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；

大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国剩余定理；

招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。

另外，其他成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图［幻方］的研究、小数［十进分数］具体的应用、珠算的出现等等。

这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和 *** 国家之间的数学知识的交流也得到了发展。

西学输入时期

这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。

数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。

十六世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。

鸦片战争后，近代高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。

直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。

明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的《直指算法统宗》［1592］问世，珠算理论已成系统，标志著从筹算到珠算转变的完成。

但由於珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。

隋及唐初，印度数学和天文学知识曾传入中国，但影响较细。

到了十六世纪末，西方传教士开始到中国活动，和中国学者合译了许多西方数学专著。

其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷［1607］，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。

徐光启本人撰写的《测量异同》和《勾股义》便应用了《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。

此外，《几何原本》课本中绝大部份的名词都是首创，且沿用至今。

在输入的西方数学中仅次於几何的是三角学。

在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。

介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》［2卷，1631］、《割圆八线表》［6卷］和罗雅谷的《测量全义》［10卷，1631］。

在徐光启主持编译的《崇祯历书》［137卷，1629-1633］中，介绍了有关圆椎曲线的数学知识。

入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学「必有精理」，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的 *** 是有积极影响的。

与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。

清康熙帝爱好科学研究，他「御定」的《数理精蕴》［53卷，1723］，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。

在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有「谈天三友」之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。

李善兰在《垛积比类》［约1859］中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为「李善兰恒等式」。

这些工作较宋元时期的数学进了一步。

阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》46卷［1795-1810］，开数学史研究之先河。

1840年鸦战争后，闭关锁国政策被迫中止。

同文馆内添设「算学」，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的 *** 。

主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷［1857］，使中国有了完整的《几何原本》中译本；《代数学》13卷［1859］；《代微积拾级》18卷［1859］。

李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》3卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译《代数术》25卷［1872］，《微积溯源》8卷［1874］，《决疑数学》10卷［1880］等。

在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。

1898年建立京师大学堂，同文馆并入。

1905年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其他各国相仿。

近现代数学发展时期

这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。

中国近现代数学开始於清末民初的留学活动。

较早出国学习数学的有1903年留日的冯祖荀，1908年留美的郑之蕃，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何鲁，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来［1915年转留法］，1919年留日的苏步青等人。

他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献。

其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。

1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学［今南京大学］和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。

1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。

三十年代出国学习数学的还有江泽涵［1927］、陈省身［1934］、华罗庚［1936］、许宝騄［1936］等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。

同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素［1920］，美国的伯克霍夫［1934］、奥斯古德［1934］、维纳［1935］，法国的阿达马［1936］等人。

1935年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席。

但

赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。

在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。

用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。

三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。

其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”。

他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。

在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。

另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论著

祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。

他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。

根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。

②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。

中国古代数学以宋、元数学为最高境界。

在世界范围内宋、元数学也几乎是与 *** 数学一道居于领先集团的。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。

遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。

1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。

16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。

另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。

公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。

公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。

朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。

明代珠算开始普及于中国。

1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。

但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。

春秋前中国数学的萌芽

我们的先民在从野蛮走向文明的漫长历程中，逐渐认识了数与形的概念。出土的新石器时期的陶器大多为圆形或其他规则形状，陶器上有各种几何图案，通常还有三个着地点，都是几何知识的萌芽。先秦典籍中有“隶首作数”、“结绳记事”、“刻木记事”的记载，说明人们从辨别事物的多寡中逐渐认识了数，并创造了记数的符号。殷商甲骨文(公元前14—前11世纪)中已有13个记数单字，最大的数是“三万”，最小的是“一”。一、十、百、千、万，各有专名。其中已经蕴含有十进位置值制萌芽。传说伏羲创造了画圆的“规”、画方的“矩”，也传说黄帝臣子倕[chui垂]是“规矩”和“准绳”的创始人。早在大禹治水时，禹便“左准绳”(左手拿着准绳)，“右规矩”(右手拿着规矩)(《史记·禹本纪》)。因此，我们可以说，“规”、“矩”、“准”、“绳”是我们祖先最早使用的数学工具。人们丈量土地面积，测算山高谷深，计算产量多少，粟米交换，制定历法，都需要数学知识。《周髀〔bi婢〕算经》载商高答周公问，提到用矩测望高深广远。相传西周初年周公(公元前11世纪)制礼，数学成为贵族子弟教育中六门必修课程——六艺之一。不过当时学在官府，数学的发展是相当缓慢的。

春秋时期，随着铁器的出现，生产力的提高，中国开始了由奴隶制向封建制的过渡。新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。此时王权衰微，畴人四散，私学开始出现。最晚在春秋末年人们已经掌握了完备的十进位置值制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具。人们已谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分数。

战国至两汉中国数学框架的确立

战国时期，各诸侯国相继完成了向封建制度的过渡。思想界、学术界诸子林立，百家争鸣，异常活跃，为数学和科学技术的发展创造了良好的条件。尽管没有一部先秦的数学著作留传到后世，但是，人们通过田地及国土面积的测量，粟米的交换，收获及战利品的分配，城池的修建，水利工程的设计，赋税的合理负担，产量的计算，以及测高望远等生产生活实践，积累了大量的数学知识。据东汉初郑众记载，当时的数学知识分成了方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要九个部分，称为“九数”。九数确立了《九章算术》的基本框架。

秦始皇结束了列国纷争，首次建立了中央集权的封建帝国，本应有利于数学的发展。但他的专制政策窒息了百家争鸣的学术空气。秦朝的残暴统治，尤其是焚书坑儒，给中国文化事业造成空前的浩劫。不久，刘邦利用推翻暴秦的农民起义，统一了中国，建立了汉朝，史称西汉。西汉政府与民生息，社会生产力得到恢复、发展，给数学和科学技术的发展带来新的活力，人们提出了若干算术难题，并创造了解勾股形、重差等新的数学方法。同时，人们注重先秦文化典籍的收集、整理。作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是《九章算术》的成书。《九章算术》(省称《九章》)是中国最重要的数学经典，它之于中国和东方数学，大体相当于《几何原本》之于希腊和欧洲数学。在世界古代数学史上，《九章》与《原本》像两颗璀灿的明珠，东西辉映。

《九章》之前还有一部《周髀算经》，它本是一部以数学方法阐述盖天说的天文著作，一般认为于公元前1世纪成书。卷上记载了商高答周公问，陈子答荣方问。前者有勾股定理的特例32+42=52，后者有用勾股定理及比例算法测太阳高远及直径的内容。近年湖北省张家山出土的竹简《算数书》正在整理，其少广一问与《九章》少广章第1问基本相同，两者的关系有待于研究。

《九章》集先秦到西汉数学知识之大成。据东汉末大学者郑玄(公元127—200年)引东汉初郑众(?—公元83年)说，西汉在先秦九数基础上又发展出勾股、重差两类数学方法。魏刘徽说：《九章》是由九数发展而来的，由于秦朝焚书而散坏。西汉张苍(?—公元前152年)、耿寿昌(公元前1世纪)收集秦火遗残，加以整理删补，便成为《九章算术》。方田章提出了完整的分数运算法则，各种多边形、圆、弓形等的面积公式;粟米章提出了比例算法;衰[cui崔]分①章提出了比例分配法则;少广章给出了完整的开平方、开立方程序;商功章讨论各种立体体积公式及工程分配方法;均输章解决赋役中的合理负担，也是比例分配问题，还有若干结合西汉社会实际的算术杂题;盈不足章解决盈亏问题及可以用盈不足术解决的一般算术问题;方程章是线性方程组解法，并给出了正负数加减法则;勾股章由旁要发展而成，提出了勾股定理、解勾股形及若干测望问题的方法。全书以计算为中心，有90余条抽象性算法、公式，246道例题及其解法，基本上采取算法统率应用问题的形式。它的许多成就居世界领先地位，奠定了此后中国数学居世界前列千余年的基础。《九章》分类不甚合理，没有任何定义和推导，少数公式不准确，个别公式有错误，则是不容讳言的缺点。《九章》的框架、形式、风格和特点深刻影响了中国和东方的数学。

《九章算术》成书后，注家蜂起。《汉书·艺文志》所载《许商算术》、《杜忠算术》(公元前1世纪)估计为研究《九章》的作品。东汉马续、张衡、刘洪、郑玄、徐岳、王粲等通晓《九章算术》，或为之作注。这些著作都未传世，从后来刘徽(今山东邹平人，生卒不详)《九章算术注》所反映的信息看，这些研究基本上停留在归纳验证《九章算术》的正确性方面，理论上未能在《九章》基础上作出长足进步。

魏晋至唐初中国数学理论体系的建立

《九章算术》之后，中国的数学著述基本上采取两种方式：一是为《九章算术》作注;二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。经过两汉社会经济和科学技术的大发展，到魏晋，中国封建社会进入一个新的阶段，庄园农奴制和门阀士族占据了经济政治舞台的中心。思想文化领域中，儒家的统治地位被削弱，谶纬迷信和繁琐的经学退出历史舞台，代之以谈三玄——《周易》、《老子》、《庄子》为主的辩难之风。学者们通过析理，探讨思维规律，思想界出现了战国的百家争鸣以来所未有过的生动局面。与此相适应，数学家重视理论研究，力图把自先秦到两汉积累起来的数学知识建立在必然的可靠的基础之上。刘徽和他的《九章算术注》便是这个时代造就的最伟大的数学家和最杰出的数学著作。

大约与刘徽同时或稍前，有赵爽(又名婴，字君卿，生卒不详，估计是三国吴人)的《周髀算经注》，其可观者为“勾股圆方图”，用600余字概括了两汉以来勾股算术的成果。

刘徽《九章算术注》作于魏景元四年(公元263年)，原十卷。前九卷全面论证了《九章》的公式、解法，发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念，在圆面积公式和锥体体积公式的证明中引入了无穷小分割和极限思想，首创了求圆周率的正确方法，指出并纠正了《九章》的某些不精确的或错误的公式，探索出解决球体积的正确途径，创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术，用十进分数逼近无理根的近似值等，使用了大量类比、归纳推理及演绎推理，并且以后者为主。第十卷原名重差，为刘徽自撰自注，发展完善了重差理论，此卷后来单行，因第一问为测望一海岛的高远，名之曰《海岛算经》。他还著有《九章重差图》一卷，已佚。刘徽生活在辩难之风兴起而尚未流入清谈的魏晋之交，受思想界“析理”的影响，对《九章算术》“析理以辞，解体用图”(《九章算术注·序》)，并对各种算法进行总结分析，认为数学像一株枝条虽分而同本干的大树，发自一端，形成了一个完整的理论体系。刘徽博览群书，谙熟诸子百家，他不迷信古人，敢于创新，实事求是。对他未能解决的牟合方盖，坦诚直书，表示“以俟能言者”(《九章算术·少广章注》)，表现了一位伟大学者寄希望于后学的坦荡胸怀。

《孙子算经》三卷，常被误认为春秋军事家孙武所著，实际上是公元400年前后的作品，作者不详。这是一部数学入门读物，给出了筹算记数制度及乘除法则等预备知识，其河上荡杯、鸡兔同笼等问题后来在民间广泛流传，“物不知数”题则开一次同余式解法之先河。张丘建(今山东人，生平不详)著的《张丘建算经》三卷，成书于北魏(5世纪下半叶)。此书补充了等差级数的若干公式，其百鸡问题是著名的不定方程问题，后世十分重视。

《缀术》包含了祖冲之(公元429—500年)和儿子祖暅〔geng 更〕之(一作祖暅，生平不详)的数学贡献。由于其内容深奥，隋唐算学馆学官(相当于今天大学数学系教授)读不懂，遂失传。据认为，将圆周率精确到八位有效数字、球体积的解决及含有负系数的二次、三次方程皆是其中的内容。祖冲之，字文远，祖籍范阳逎(今河北省涞源县)人。刘宋大明六年(公元462年)造大明历，使用岁差，改革闰制。他的改革遭到守旧派官僚戴法兴的反对，祖冲之不畏权势，据理驳斥，坚持了反对谶纬迷信，不虚推古人，实事求是的科学精神。他对机械深有研究，制造过水碓、水磨、指南车、千里船、漏壶等，并著《安边论》、《述异记》等。祖暅之，字景烁。从小爱好数学，巧思入神，极其精微。专心致志之时，雷霆不能入。有一次走路时思考问题，仆射徐勉迎面而来竟然没有发现，头撞到徐勉身上，徐勉唤他，他才知道撞了人。其父的《大明历》经他的努力在梁朝颁行。

北周甄鸾(今河北无极人，生卒不详)有三部数学著作传世，即《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》。前二部内容浅近，无足道者。《数术记遗》一卷，传本题(东)汉徐岳撰、北周甄鸾注，近人多以为系甄鸾自撰自注，假托徐岳。书中记载了三种大数进位制及14种算法，其中珠算虽不同于元明的珠算盘，然开后者之先河，似无可疑。

隋唐是中国封建社会经济政治文化的鼎盛时期，然而数学上除天文历法研究中刘焯(公元544—610年)创造等间距内插公式(7世纪初)和僧一行(公元683—727年)创造不等间距内插公式(8世纪)外，几无创造，数学成就及理论水平远远低于魏晋南北朝。唐初王孝通(生卒不详)撰《缉古算经》一卷，解决了若干复杂的土方工程及勾股问题，且都用三次或四次方程解决，是为现存记载三次、四次方程的最早著作。然而，《缉古算经》未必是高于《缀术》的著作。王孝通是历算博士，曾任太史丞，在天文历法方面是保守的。他在《上〈缉古算经〉表》中指责《缀术》全错不通，于理未尽，大约他与当时别的数学家一样读不懂《缀术》。他自诩他的《缉古算经》千金不能排其一字，他一旦瞑目，其方法后人莫晓。科学家不必作谦谦君子，但如此狂妄，也是不足取的。

隋唐统治者在国子监设算学馆，置算学博士、助教指导学生学习。唐李淳风等奉敕于显庆元年(公元656年)为《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》等十部算经作注，作为算学馆教材，这就是著名的《算经十书》，该书是中国古代数学奠基时期的总结。李淳风等注释保存了许多宝贵资料，但注释水平并不高。由于种种原因，算学馆实际未培养出像样的数学家。

唐中叶至宋元中国数学的高潮

经过盛唐的大发展，唐中叶之后，生产关系和社会各方面逐渐产生新的实质性变革，到10世纪下半叶，赵匡胤建立宋朝，统一中国，中国封建社会进入了另一个新的阶段，土地所有制以国有为主变为私有为主，租佃农民取代了魏唐的具有农奴身份的部曲、徒附。农业、手工业、商业和科学技术得到更大发展。中国古代四大发明，有三项——印刷术之广泛应用及活字印刷，火药用于战争，指南针用于航海——完成于唐中叶至北宋。宋秘书省于元丰七年(公元1084年)首次刊刻了《九章算术》等十部算经(时《夏侯阳算经》、《缀术》已失传，因8世纪下半叶一部韩延《算术》开头有“夏侯阳曰”云云而误认为是前者而刻入，后者只好付之阙如)，是世界上首次出现的印刷本数学著作。后来南宋数学家鲍澣之翻刻了这些刻本，有《九章算术》(半部)、《周髀算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张丘建算经》五种及《数术记遗》等孤本流传到现在，是目前世界上传世最早的印刷本数学著作。宋元数学家贾宪、李冶、杨辉、朱世杰的著作，大都在成书后不久即刊刻。数学著作借助印刷术得以空前广泛的流传，对传播普及数学知识，其意义尤为深远。

宋元数学高潮早在唐中叶已见端倪。随着商业贸易的蓬勃发展，人们改进筹算乘除法，新、旧《唐书》记载了大量这类书籍，可惜绝大多数失传，只有韩延(生平不详)《算术》(8世纪)以《夏侯阳算经》的名义流传下来，该书提出了若干化乘除为加减的捷算法，并在运算中使用了十进小数，极可宝贵。

11世纪上半叶贾宪(生平不详)撰《黄帝九章算经细草》，是为北宋最重要的数学著作。贾宪曾任左班殿直(低级武官)，是当时著名天文学家、数学家楚衍的学生。还著有《算法?古集》二卷，已佚。他将《九章算术》未离开题设具体对象甚至数值的术文大都抽象成一般性术文，提高了《九章算术》的理论水平;他对某些类型的数学问题进行概括，比如提出开方作法本源即贾宪三角，作为他提出的立成释锁(即开方)法的算表，这是开方问题的纲;他提出了若干新的重要方法，其中最突出的是创造增乘开方法，并提出了开四次方的程序。贾宪的思想与方法对宋元数学影响极大，是宋元数学的主要推动者之一。《黄帝九章算经细草》因被杨辉《详解九章算法》抄录而大部分保存了下来(阙卷一、二及卷三上半部，卷五的一部分)。

大科学家沈括(公元1031—1095年)对数学有独到的贡献。在《梦溪笔谈》中首创隙积术，开高阶等差级数求和问题之先河，又提出会圆术，首次提出求弓形弧长的近似公式。

12世纪北宋刘益(生平不详)撰《议古根源》，亦失传。杨辉《田亩比类乘除捷法》引用了它的若干题目与方法。《缀术》失传之后，开方式的系数仍皆为正数，刘益突破了这个限制，首先引入负系数方程，并创造了益积开方术与减从开方术求其正根，杨辉誉之为“实冠前古”。

1127年金朝入主中原，赵宋南迁，史称南宋。1234年，蒙古贵族灭金，后来建立元朝。1279年元灭南宋，占领中国。13世纪中叶至14世纪初，是宋元数学高潮的集中体现，也是中国历史上留下重要数学著作最多的半个世纪，并形成了南宋统治下的长江中下游与金元统治下的太行山两侧两个数学中心。

南方中心以秦九韶、杨辉为代表，以高次方程数值解法、同余式解法及改进乘除捷算法的研究为主。北方中心则以李冶为代表，以列高次方程的天元术及其解法为主。元统一中国后的朱世杰，则集南北两个数学中心之大成，达到了中国筹算的最高水平。

1247年秦九韶撰成《数书九章》18卷。秦九韶，字道古，自称鲁郡(今山东省)人，约1202年生于普州安岳县(今四川省)。他生活在宋元激烈斗争的南宋末年，并卷入了南宋统治集团战和两派的斗争，支持抗战派吴潜，屡遭刘克庄等人弹劾。贾似道专权后被贬到梅州(今广东省)，不久(约公元1261年)死于任所，并在死后被追随贾似道的周密丑诋不堪。他天资聪明好学，对数学、天文、土木建筑、诗词、音律、弓马等都十分精通。他多次呼吁统治者施仁政，并把数学知识看成开源节流、施仁政、利国利民的有力工具。《数书九章》分大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类81题，其成就之大，题设之复杂都超过以往算经，有的问题有88个条件，有的答案多达180条，军事问题之多也是空前的，反映了秦氏对抗元战争的关注。大衍总数术系统解决了一次同余式组解法;正负开方术把以增乘开方法为主导的求高次方程正根的方法发展到十分完备的程度，有的方程高达十次;线性方程组解法完全以互乘相消法取代直除法;提出了与海伦公式等价的三斜求积公式;使用了完整的十进小数表示法，等等，都是其杰出成就。

杨辉共撰五部数学著作，传世的有四部，居元以前数学家之冠。杨辉，字谦光，钱塘(今杭州市)人，生平不详，只知在今江浙一带管钱粮，为政清廉。与其他大家比较，他的著作偏重于教育与普及。1261年，杨辉在刘徽注、李淳风等注释、贾宪细草的《九章算术》基础上作解题、比类，并补充了图、乘除、纂类三卷，是为《详解九章算法》，今图、乘除、方田、粟米、衰分上半部、商功之一部分已佚。商功章的比类中的垛积术发展了沈括的隙积术;“纂类”则打破了《九章算术》的分类格局，按方法分成乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。1262年又撰《日用算法》，着重于改进乘除捷算法，只有少量题目保存下来。1274年撰《乘除通变本末》三卷。卷上的“习算纲目”是一个从启蒙到《九章》主要方法的数学教学计划。本书还总结了九归等乘除捷算法及其口诀。次年编纂《田亩比类乘除捷法》二卷，引用了刘益的方法与题目，批评了《五曹算经》四不等田求法的错误。同年，编纂《续古摘奇算法》二卷，对纵横图即幻方研究颇有贡献。后三部书又常合称为《杨辉算法》。

十二、十三世纪，北方出现了许多天元术著作，大都失传，流传至今的最早的以天元术为主要方法的著作是李冶的《测圆海镜》12卷(公元1248年)、《益古演段》三卷(公元1259年)。李冶(公元1192—1279年)，字仁卿，号敬斋，真定栾城(今河北省)人，生于大兴(今北京市)。其父为官清廉正直，李冶自幼受到良好的教养，且爱好数学，青年时便成为名重中原的学者，金词赋科进士。入元，遂隐居于忻、崞〔guo郭〕(今山西省北部)一带，在极为艰苦的条件下研究数学及各种学问，常粥?〔zhan毡〕不继，而聚书环堵。1251年起，主持封龙书院(今河北省)。1257、1260年两次受到元主忽必烈召见，发表了立法度，正纲纪，进君子，退小人，减刑罚，止征战，反对种族偏见的政治主张。他被聘为翰林学士。然而他羞于作唯天子、宰相之命是听的御用文人，不久便以老病为辞回到封龙山。他一生文史著述颇多，仅存《敬斋古今黈》。《测圆海镜》在洞渊九容基础上考虑了勾股形与圆的10种基本关系，在卷二一十二中就15个勾股形与圆的关系提出了170个求圆径长的问题，答案当然都相同。这些问题大都要用天元术列出方程。卷一是全书的理论基础，包括圆城图式、识别杂记等部分。圆城图式以天、地、乾、坤等汉字表示点，是个创举。识别杂记提出692条公式，除八条外都是正确的，集历代勾股形与圆的关系研究之大成。《益古演段》64问，这是一部用天元术阐释蒋周(可能是北宋人)《益古集》的方程列法的著作。其中保存了《益古集》的若干题目和旧术(方法)。

朱世杰有两部重要著作《算学启蒙》(公元1299年)、《四元玉鉴》(公元1303年)传世。朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山(今北京市)人，生平不详。他在13世纪末以数学名家周游全国20余年，向他学习数学的人很多。《算学启蒙》20门，259问，包括了从乘除及其捷算法到增乘开方法、天元术等当时数学各方面的内容，形成了一个较完整的体系。《四元玉鉴》24门，288问，卷首给出古法七乘方图(改进了的贾宪三角)等四种五幅图，以及天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例。创造四元消法，解决了多元高次方程组问题，以及高阶等差级数求和问题，高次招差法问题，是本书最大的贡献。此书是中国古代水平最高的数学著作。

杨辉、朱世杰等人对筹算乘除捷算法的改进、总结，导致了珠算盘与珠算术的产生(大约在元中叶)，完成了我国计算工具和计算技术的改革。元中后期，又出现了《丁巨算法》、贾亨《算法全能集》、何平子《详明算法》等改进乘除捷算法的著作。

明清数学——从衰落到艰难的复兴

元中叶之后，中国数学急剧衰落，元末的几部著作只是对乘除捷算法有所改进。明永乐年间(公元1403—1425年)修《永乐大典》，将前此的中国数学著作按起源、各种数学方法及音义、纂类等分类抄录。汉唐宋元数学著作在明代大都散佚，清中叶修《四库全书》，中国古算书多赖此重新面世。

明代八股取士，思想禁锢严重，学者们很少留心数学。顾应祥、唐顺之是明代数学大家，全然不懂天元术和增乘开方法。景泰元年(公元1450年)吴敬撰《九章算法比类大全》十卷，收集历代应用题，亦抛弃了增乘开方法和天元术。元明之后，随着筹算捷算法的完备，珠算术产生并得到普及，明朝出现了一批有关珠算的著作。其最著者为程大位的《算法统宗》(公元1592年)，凡17卷，595问。此书适应商业发展的需要，以珠算为主要计算工具，并载有珠算开方法。此书在以后二、三百年问被多次翻刻、改编，流传之广是罕见的。程大位，字汝思，号渠宾，休宁(今黄山市屯溪区)人，曾在长江中下游地区经商，注意收集算经和数学问题，晚年撰成此书。

16世纪末，利玛窦等欧洲传教士来华，与徐光启等一起翻译《几何原本》等著作。后来，传教士们又引入了三角学、对数等西方初等数学，从此，中国数学开始了中西会通的阶段。清朝260余年，留下数学著作极多，都在不同程度上融会中西数学。

清宣城梅文鼎(公元1633—1721年)潜心于中西数学研究，著述甚多，其孙梅瑴成将他的著作编辑成《梅氏丛书辑要》60卷，其中数学著作13种40卷，内容遍及当时中国数学的各个门类，对清朝数学影响极大。

康熙皇帝爱好数学，他御定由梅瑴成、何国宗、明安图、陈厚耀等编纂的《数理精蕴》53卷，全面系统地介绍了当时传入的西方数学知识。上编立纲明体，为数理本源、几何原本、算术原本等五卷;下编分条致用，为实用数学和借根方比例，以及对数、三角函数等40卷，表4种8卷，同样对清朝数学产生了巨大影响。此书于雍正元年(公元1723年)印行。

1723年，雍正帝即位，认为传教士不利于自己的统治，除少数供职于钦天监者外，将传教士悉数赶到澳门。此后，西学的传入遂告一段落，中国数学家一方面消化前此传入的数学知识，一方面忙于整理中国古典数学著作。

1773年乾隆帝决定修《四库全书》，戴震(公元1724—1777年)从《永乐大典》中辑出《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《五经算术》以及赝本《夏侯阳算经》等七部汉唐算经，并加校勘，《数书九章》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》等久佚的宋元算书也陆续辑出或发现，从此掀起了乾嘉时期(公元1736—1820年)研究整理中国古典数学的热潮。古书注释以李潢(?—公元1812年)《九章算术细草图说》、罗士琳(公元1789—1853年)《四元玉鉴细草》影响较大。而开创性的研究则以焦循(公元1763—1820年)《里堂学算记》、汪莱(公元1768—1813年)《衡斋算学》、李锐(公元1768—1817年)《李氏算学遗书》最为有名。

18世纪初，法人杜德美(公元1668—1720年)传入牛顿、格雷果里创造的三个三角函数的级数展开式。后来，三角函数和对数函数展开式的研究成为中国数学家的重要课题。明安图(17世纪末至18世纪60年代)、董祐诚(公元1791—1823年)、项名达(公元1789—1850年)、戴煦(公元1805—1860年)等都作出了杰出贡献。李善兰(公元1811—1882年)的《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》(公元1845年)在三角函数与对数函数的研究上取得了更大的成就。他创造的尖锥术提出了几个相当于定积分的公式，在接触西方微积分思想之前独立地接近了微积分学。李善兰，字壬叔，号秋纫，浙江海宁人。幼年即嗜好数学，30余岁即获创造性成果。

1840年，列强用大炮轰开了清朝闭关自守的大门，中国逐渐沦为半封建半殖民地社会。西方数学以前所未有的规模大量传入。1852年李善兰到上海，与英国传教士伟烈亚力(公元1815—1887年)合译《几何原本》后九卷、《代数学》13卷、《代微积拾级》18卷等许多西方数学著作，后者是中国第一部微积分学译著。后来，华衡芳(公元1833—1902年)与英人傅兰雅合译了《代数术》、《微积溯源》、《三角数理》、《决疑数学》等书，后者是中国第一部概率论译著。他们创造的许多术语至今还在使用。李善兰还融会中西，著述颇丰。《椭圆正术解》等四种是关于圆锥曲线的研究，《级数回求》等是关于幂级数的研究，而《垛积比类》则在朱世杰基础上系统解决了高阶等差级数求和问题，并提出了著名的李善兰恒等式。1872年撰《考数根法》，证明了费尔马小定理，提出了素数判定法则。他的著作汇集为《则古昔斋算学》，包括14种科学著作。李善兰是开展现代数学研究的第一位中国数学家。然而，总的说来，时处清末，经济衰落，社会动荡，有志于现代数学的人没有与现代工程技术结合的条件，不可能有大量可观的成果，而士大夫阶层更多的人抱有西学为我中华所固有的偏见，不求甚解。此后不久，尤其是维新变法和新文化运动之后，中国古代数学传统基本中断，中国数学研究纳入了统一的现代数学。20世纪是中国数学复兴的世纪，人们期待，在下个世纪中国将重新取得数学大国的地位。