二次函数的重点、基础、难点。

二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般式 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ； 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线,即b2-4ac≥0； 韦达定理：X1+x2=-b/a x1x2=c/a　a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式　x是自变量，y是x的二次函数　x1,x2=[-b±(√(b^2;-4ac)]/2a　(即一元二次方程求根公式）求根的方法还有因式分解法和配方法　二次函数与X轴交点的情况　当△=b^2-4ac>0时, 函数图像与x轴有两个交点。　当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。　当△=b^24ac<0时,函数图像与x轴没有交点。 如何学习二次函数　1。要理解函数的意义。　2。要记住函数的几个表达形式，注意区分。　3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。　4。联系实际对函数图像的理解。　5。计算时，看图像时切记取值范围。 编辑本段二次函数的图像　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。　注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。　2画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a）　3与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，与Y轴交点坐标 (0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-bxb)/4a).</B>抛物线的性质 轴对称　1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a　</B>对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。　特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）　a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴　a,b异号，对称轴在y轴右侧 顶点　2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )　当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a 开口　3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。　当a＞0时，二次函数图像向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。 决定对称轴位置的因素　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时　（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的　斜率k的值。可通过对二次函数求导数得到。

初三学二次函数的窍门

你好,你的问题,其实是带有普遍性的,也是很多初三学生心中急着想说的话题,

许多同学在学二次函数时,都会感到很困域,

因此,针对这个问题,,我简要地答复如下,希望对你有所帮助;

1,拱桥设计主要是选择建立适当的坐标系,

坐标系的建立有两个方法:

(1)选择拱桥顶点为抛物线顶点;

(2)选择水面为X轴,拱桥顶点在 y轴上;拱桥两端为与X轴交点;

2,二次函数的主要概念及性质如下:

求解析式的三种方法:

(1)一般式

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ；

(2)顶点式

y=a(x+h)2;+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（-h，k）或（h,k）对称轴为x=-h或x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y＝ax^2;的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

(3)交点式

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线,即b?-4ac>=0] ；

由一般式变为交点式的步骤：

∵x1+x2=-b/a x1x2=c/a

∴y=ax2;+bx+c=a(x^2;+b/ax+c/a) =a[（x^2;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)

3,重要概念：a，b，c为常数，a≠0，

且a决定函数的开口方向。

a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。

a的绝对值可以决定开口大小。

a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

4, 二次函数与X轴交点的情况

当△=b^2-4ac>0时, 函数图像与x轴有两个交点。

当△=b^2－4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。

当△=b^2－4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。

5,如何学习二次函数

1。要理解函数的意义。 2。要记住函数的几个表达形式，注意区分。 3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。 4。联系实际对函数图像的理解。 5。计算时，看图像时切记取值范围。

6,二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

注意：草图要有

(1)本身图像，旁边注明函数。

(2)画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a）

(3)与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，

与Y轴交点坐标 (0,c)，

顶点坐标(-b/2a, (4ac-b.b)/4a).抛物线的性质

7,轴对称

(1).二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）

a,b同号，对称轴在y轴左侧

b=0,对称轴是y轴

a,b异号，对称轴在y轴右侧

(2).二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。 h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a

(3).二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a＞0时，二次函数图像向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则二次函数图像的开口越小。

决定对称轴位置的因素

(4).一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，

所以a、b要同号 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0,

所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），

对称轴在y轴左；当a与b异号时 （即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。

(5).常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 二次函数图像与y轴交于（0,k）

初三学二次函数的窍门，相关内容如下：

二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）是初中数学学习的重点，同时也是难点，其知识点比较多，又不大容易理解和记忆。在学习中需要理解和熟记的内容有

1.定义：

形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数。

2.图象：

是一条以直线x=-b/2a为对称轴，顶点在（-b/2a，（4ac-b2）/4a）的抛物线。

3.性质：

3.1a>0时，图象开口向上，当x<-b/2a时，y随x增大而减小；当x=-b/2a时，y最小值=（4ac-b2）/4a；当x>-b/2a时，y随x增大而增大。

3.2a<0时，图象开口向下，当x<-b/2a时，y随x增大而增大；当x=-b/2a时，y最大值=（4ac-b2）/4a；当x>-b/2a时，y随x增大而减小。

4.三种表达：

4.1一般形式（也称三点式）：y=ax2+bx+c（a≠0）；

4.2配方形式（也称顶点式）：y=a（x-m）2+n，顶点为（m，n）；

4.3两根形式（也称交点式）：y=a（x-x1）(x-x2)，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根（或者说是抛物线与x轴两交点的横坐标）。

4.4图象与a、b、c的符号。

5.现将这些性质编成如下顺口溜：

二次函数抛物线，既是重点亦难点；定义图象和性质，一一分清记心间。三种表达很重要，解题当中常用到，因题而异灵活选，事关解题繁与简。一般三点用一般，有关顶点用配方，涉及两根用交点，a的大小都不变。

性质理解并不难，抓住顶点是关键，确定开口大方向，画出图象找拐点。三项系数定符号，a的符号最明了，开口方向看清楚，向上为正下为负。

确定b号较麻烦，a的符号要用上，轻轻画出对称轴，它在y轴哪一边？左边b与a同号，右边两者恰相反，左同右异要记牢，c的符号y轴找。